Platonik Cisimler

Düzgün Katı Cisimler
(Düzgün Çok Yüzlüler)

Bütün kenarları eşit ve yüzeyleri düzgün çokgen olan katı cisimlere Düzgün Katı Cisim denir. Beş Katı cisim olarak bilinen bu geometrik cisimlere, Platon (Eflâtûn)’un isminden esinlenerek Platonik Cisimler de denilmiştir. Şimdiye kadar bilinen düzgün katılar 5 tanedir. Bunlar:

• Dörtyüzlü (Tetrahedron)
• Altıyüzlü (Hexahedron)
  
• Sekizyüzlü (Octahedron)
  
• Onikiyüzlü (Dodecahedron)
  
• Yirmiyüzlü (Icosahedron)
  

Platon bu cisimlerin doğayı anlattığını düşünüyordu. Ona göre: Her yüzü bir eşkenar üçgen olan dörtyüzlü ateşi, sekizyüzlü havayı, yirmiyüzlü suyu, yüzleri kareler olan küp toprağı ve yüzleri düzgün beşgenlerden oluşan onikiyüzlü ise, evreni simgeliyordu. Platon "Timaus" adlı eserinde bu düşüncesini açıklamıştı.

Çokyüzlüler içinde özellikle düzgün olanları insanların ilgisini çekmiştir. Bazı arkeolojik kazılarda binlerce yıl öncesine ait taştan yapılmış düzgün çokyüzlüler bulunmuştur. Bunca yıl uğraşılmış olmasına karşın sadece beş tane düzgün çokyüzlü bulunabilmiştir. Yeni çokyüzlüler bulma yönündeki çabalar, Öklid’in "Elemanlar" adlı kitabında bunun başarılamayacağını ispatlaması ile son bulmuştur. Sonuç olarak düzgün geometrik cisimlerden üçgen yüzlülerden 3 tane, beşgen yüzlülerden 1 tane ve bir tane de kare yüzlü vardır.


Beş Katı Cismin özellikleri

1. Tüm yüzeyler düzgün çokgendir.
2. Bir köşede kaç yüz birleşiyorsa diğer köşelerde de o kadar yüz birleşmelidir.
3. Bütün yüzeyler aynı büyüklükte ve eşit olmalıdır.

Düzgün Katı Cisimlerde İkilik İlişkisi






Yukarıda da gördüğünüz gibi ikilik ilişkisine sahip iki çokyüzlü karşılaştırıldığında ayrıt sayılarının aynı olduğu, yüz ile köşe sayılarının ise karşılıklı yer değiştirdikleri görülür. (Örneğin, küp ile sekizyüzlünün oniki olan ayrıt sayıları aynı iken altı ve sekiz olan yüz sayıları ile köşe sayıları karşılıklı olarak yer değiştirmektedir.) Ayrıca aralarında ikilik ilişkisi bulunan çokyüzlülerden herhangi birisinin yüzlerinin orta noktaları birleştirildiğinde diğer çokyüzlü elde edilir. Aynı işlem yeni oluşan çokyüzlü için de tekrar edilirse birinciye benzer bir çokyüzlü elde edilir.

Kaynaklar:
1) http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid
2) http://calc101.com/animations/index.html